ইউক্লিডীয় মৌলিক সংখ্যার উপপাদ্যটি প্রমাণ

ইউক্লিডীয় মৌলিক সংখ্যার উপপাদ্য

উপপাদ্য:

“অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান।” গ্রিক গণিতবিদ ইউক্লিড তার বিখ্যাত গ্রন্থ Elements-এ এই উপপাদ্য প্রমাণ করেন।

প্রমাণ (প্রত্যাসিতি পদ্ধতিতে)

ধাপ ১: বিপরীত অনুমান

ধরি, সীমিত সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। এই মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো:

p₁, p₂, p₃, ..., pₙ

ধরে নিচ্ছি, এদের বাইরের আর কোনো মৌলিক সংখ্যা নেই।

ধাপ ২: নতুন সংখ্যা তৈরি

একটি নতুন সংখ্যা সংজ্ঞায়িত করি, যা এই সমস্ত মৌলিক সংখ্যার গুণফলের চেয়ে ১ বেশি:

N = (p₁ × p₂ × p₃ × ... × pₙ) + 1

এখানে N হলো নতুন সংখ্যা। এখন দেখি, এটি আগের কোনো মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য কি না।

ধাপ ৩: ভাগশেষ পরীক্ষা

যদি N তালিকায় থাকা যে কোনো মৌলিক সংখ্যা pᵢ দ্বারা বিভাজ্য হতো, তাহলে:

N ÷ pᵢ = k

হলে ভাগশেষ **০** হওয়ার কথা। কিন্তু আমাদের নতুন সংখ্যা:

N = (p₁ × p₂ × ... × pₙ) + 1

এখানে **১** অতিরিক্ত থাকার কারণে, N কোনো pᵢ দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য নয়।

ধাপ ৪: নতুন মৌলিক সংখ্যা আবিষ্কার

যেহেতু N কোনো তালিকাভুক্ত মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাই এটি হয় **একটি নতুন মৌলিক সংখ্যা**, অথবা এটি এমন একটি মৌলিক সংখ্যার গুণনীয়ক যা আমাদের তালিকায় ছিল না।

এটি বিপরীত অনুমানের বিরুদ্ধে যায়, কারণ আমরা ধরেছিলাম **সীমিত সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে**, কিন্তু নতুন মৌলিক সংখ্যা পেয়ে গেছি!

উপসংহার

আমাদের **প্রত্যাসিত অনুমান ভুল**। সুতরাং, অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান।

∴ মৌলিক সংখ্যা অসীম। ■

উদাহরণ: প্রয়োগ দেখানো

ধরি, আমাদের কাছে মাত্র তিনটি মৌলিক সংখ্যা আছে: ২, ৩, ৫। তাহলে, নতুন সংখ্যা তৈরি করি:

N = (2 × 3 × 5) + 1 = 30 + 1 = 31

৩১ একটি নতুন মৌলিক সংখ্যা, যা আগের তালিকায় ছিল না। এর মানে আমাদের ধারণা ভুল ছিল, এবং আরও মৌলিক সংখ্যা থাকতে পারে।

সংক্ষেপে মূল পয়েন্ট

1. বিপরীত অনুমান: ধরলাম, মৌলিক সংখ্যা সীমিত।
2. নতুন সংখ্যা তৈরি: সব মৌলিক সংখ্যার গুণফলের সাথে ১ যোগ করলাম।
3. পরীক্ষা: নতুন সংখ্যা আগের কোনো মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়।
4. বিরোধ: এটি নতুন মৌলিক সংখ্যা সৃষ্টি করলো, যা বিপরীত অনুমানের বিরুদ্ধে যায়।
5. উপসংহার: মৌলিক সংখ্যা অসীম।