Khalil Finance Hub

প্রমাণ: মূলদ ভগ্নাংশের সরল আবিরত ভগ্নাংশ প্রমাণ: মূলদ ভগ্নাংশের সরল আবিরত ভগ্নাংশ প্রশ্ন: প্রমাণ কর যে, প্রত্যেক মূলদ ভগ্নাংশকে সরল আবিরত ভগ্নাংশে প্রকাশের উপায় অনন্য, যেখানে সর্বশেষ আংশিক ভাগফল এক অপেক্ষা বড়। উত্তর: ধাপ ১: সরল আবিরত ভগ্নাংশ রূপে প্রকাশের এলগরিদম কোনো মূলদ ভগ্নাংশ p/q ( p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং পরস্পর সহমৌলিক) কে সরল আবিরত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে ইউক্লিড বিভাজন প্রক্রিয়া অনুসরণ করা হয়: p/q = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ... + 1/aₙ))) এখানে a₀, a₁, a₂, ..., aₙ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং শেষ পদ aₙ > 1 । ধাপ ২: একমাত্রিকতা প্রমাণ যদি কোনো মূলদ ভগ্নাংশের দুটি ভিন্ন সরল আবিরত ভগ্নাংশ উপস্থাপন সম্ভব হতো, তাহলে তাদের পার্থক্য একটি নতুন মূলদ সংখ্যা হতো যার আবিরত ভগ্নাংশ দুটি আলাদা হতো। কিন্তু আবিরত ভগ্নাংশ রূপান্তরটি একটি নির্দিষ্ট ধাপে বিভাজন প্রক্রিয়ার মাধ্যমে নির্ধারিত হয়, যা এককভাবে নির্দিষ্ট। তাই, প্রতিটি মূলদ ভগ্নাংশের কেবলম...

ইউক্লিডীয় মৌলিক সংখ্যার উপপাদ্ ইউক্লিডীয় মৌলিক সংখ্যার উপপাদ্য উপপাদ্য: “অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান।” গ্রিক গণিতবিদ ইউক্লিড তার বিখ্যাত গ্রন্থ Elements -এ এই উপপাদ্য প্রমাণ করেন। প্রমাণ (প্রত্যাসিতি পদ্ধতিতে) ধাপ ১: বিপরীত অনুমান ধরি, সীমিত সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। এই মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো: p₁, p₂, p₃, ..., pₙ ধরে নিচ্ছি, এদের বাইরের আর কোনো মৌলিক সংখ্যা নেই। ধাপ ২: নতুন সংখ্যা তৈরি একটি নতুন সংখ্যা সংজ্ঞায়িত করি, যা এই সমস্ত মৌলিক সংখ্যার গুণফলের চেয়ে ১ বেশি: N = (p₁ × p₂ × p₃ × ... × pₙ) + 1 এখানে N হলো নতুন সংখ্যা। এখন দেখি, এটি আগের কোনো মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য কি না। ধাপ ৩: ভাগশেষ পরীক্ষা যদি N তালিকায় থাকা যে কোনো মৌলিক সংখ্যা pᵢ দ্বারা বিভাজ্য হতো, তাহলে: N ÷ pᵢ = k হলে ভাগশেষ **০** হওয়ার কথা। কিন্তু আমাদের নতুন সংখ্যা: N = ...