Math

প্রমাণ: মূলদ ভগ্নাংশের সরল আবিরত ভগ্নাংশ

প্রশ্ন:

প্রমাণ কর যে, প্রত্যেক মূলদ ভগ্নাংশকে সরল আবিরত ভগ্নাংশে প্রকাশের উপায় অনন্য, যেখানে সর্বশেষ আংশিক ভাগফল এক অপেক্ষা বড়।

উত্তর:

ধাপ ১: সরল আবিরত ভগ্নাংশ রূপে প্রকাশের এলগরিদম

কোনো মূলদ ভগ্নাংশ p/q (p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং পরস্পর সহমৌলিক) কে সরল আবিরত ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে ইউক্লিড বিভাজন প্রক্রিয়া অনুসরণ করা হয়:

p/q = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ... + 1/aₙ)))

এখানে a₀, a₁, a₂, ..., aₙ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং শেষ পদ aₙ > 1।

ধাপ ২: একমাত্রিকতা প্রমাণ

যদি কোনো মূলদ ভগ্নাংশের দুটি ভিন্ন সরল আবিরত ভগ্নাংশ উপস্থাপন সম্ভব হতো, তাহলে তাদের পার্থক্য একটি নতুন মূলদ সংখ্যা হতো যার আবিরত ভগ্নাংশ দুটি আলাদা হতো।

কিন্তু আবিরত ভগ্নাংশ রূপান্তরটি একটি নির্দিষ্ট ধাপে বিভাজন প্রক্রিয়ার মাধ্যমে নির্ধারিত হয়, যা এককভাবে নির্দিষ্ট। তাই, প্রতিটি মূলদ ভগ্নাংশের কেবলমাত্র **একটি মাত্র অনন্য** সরল আবিরত ভগ্নাংশ রূপ আছে।

ধাপ ৩: শেষ পদ aₙ এর শর্ত

যদি শেষ ভাগফল aₙ = 1 হয়, তাহলে:

1/(aₙ₋₁ + 1/1) = 1/(aₙ₋₁ + 1)

যা পুনরায় লেখা যায়:

1/(aₙ₋₁ + 1)

এটি আগের রূপের চেয়ে সংক্ষিপ্ত রূপ দেয়, তাই আমরা সর্বদা শেষ পদকে **aₙ > 1** আকারে লিখতে পারি।

উপসংহার

উপরের ধাপসমূহ থেকে প্রমাণিত হয় যে, প্রত্যেক মূলদ ভগ্নাংশের **একটি মাত্র অনন্য সরল আবিরত ভগ্নাংশ রূপ** আছে, যেখানে শেষ ভাগফল aₙ > 1। সুতরাং, প্রদত্ত শর্তটি **সত্য**।